Physik der LARP-Geschütze

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Hallo, Freunde sich bewegender Körper! Diese Seite sammelt meine und anderer Leuts Beiträge zur Physik von Belagerungsmaschinen. Der oberste Artikel diskutiert das Problem der überproportionalität der Energie bei Bögen und Bogenartigen. Der untere Artikel spekuliert über die Schußweite eines Triboks unter idealisierten Umständen.

Die LARP-Physik des fliegenden Pfeiles

Ein vieldiskutierte Punkt bei Bau und Waffencheck von Katapulten und Ballistas jeder Art ist deren 'Gefährlichkeit', d.h. die Frage, ob ein vom Geschütz ausgesendetes Projektil für einen Spieler eine Gefahr darstellen kann. Weil in Wirklichkeit alles eine Gefahr darstellt (Wattebäusche? Können eingeatmet werden und zur Erstickung führen!) ist der Referenzpunkt gewöhnlich der 'LARP-Bogen' mit dem 'LARP-Pfeil'. Der LARP-Bogen (wie genormt unter Larp-Spielgerät-Norm LSN 08/15 B) ist ein Bogen ohne Umlenkrollen, der bei einem Auszug der Sehne aus der Ruhelage bis zur Nasenspitze eine Endzugkraft von 28 lb (Pfund), entsprechend 126 N (Newton), entsprechend dem Gewicht von 12 kg, entwickelt. Der LARP-Pfeil ist ein Pfeil, dessen Spitze ersetzt wurde durch eine (fast) starre Scheibe, die durch mehrere Lagen Isomatte und Schaumstoff derartig abgepolstert wurde, daß ein Schuß dieses Pfeiles mit dem LARP-Bogen auf kurze Distanz keine über den Auftreffaugenblick herausgehenden Schmerzen verursacht. Insbesondere ist der LARP-Pfeil-Kopf so gestaltet, daß der Kopfdurchmesser größer ist als der Durchmesser der Augenhöhle eines Menschen - d.h. bei einem zentralen Augentreffer geht der Hauptteil der Pfeilenergie in die Knochen unter der Augenbraue und in das Jochbein, nicht aber auf den Augapfel. Dies nur als Vorbemerkungen. Links zu Bauanleitungen befinden sich auf meiner Link-Seite.

Viele Geschoß-Probleme lassen sich gemeinsam betrachten, solange die Quelle des Antriebs so gestaltet ist, daß die für den Schuß benötigte Energie in einer physikalischen 'Feder' gespeichert wird. Eine Feder im Sinne dieser Beschreibung zeichnet sich dadurch aus, daß die Kraft, die für eine Auslenkung benötigt wird, linear mit der Auslenkung steigt (je mehr man zieht, desto schwerer geht's). Beispiele sind: Ein Bogen, eine Armbrust mit biegsamen Armen, alles Expander-Gummizug getriebenen Anordnungen, Anordnungen, die auf dem Verzwirbeln von Seilen beruhen, Anordnungen in denen Spiralfedern zusammengedrückt werden.

Ein Bespiel für ein Gerät, das nicht zu dieser Klasse gehört ist das 'Trebuche' (Eine Art von Geschütz-Wippen-Konstruktion'). Hier wird mit einem sehr schweren Gegengewicht Energie gespeichert: das Gegengewicht übt (näherungsweise) eine von der Auslenkung unabhängige Kraft aus.

Zurück zu den Feder-Prinzip-Geschützen:

Physikalisch gesehen (und unter Vernachlässigung des Luftwiderstandes) stellt sich die Sache so dar:

Entscheidend für die Real-Schadenswirkung (das, was wir alle vermeiden wollen) ist bei einem Pfeil neben der Größe und Ausgestaltung des Polsterkopfes (nehmen wir mal an, daß da alles richtig gemacht wurde, z.B. nach Jörg Webers Bauanleitungen) dessen Energie zum Zeitpunkt des Auftreffens.

Wie groß ist diese Energie und wie kommt die Energie in den Pfeil oder Bolzen? Die Energie ist beim gespannten Bogen/Armbrust in der Rückstellkraft der Arme verborgen, eventuell auch in der Verlängerung des Expanderseils bei Gummizug-Armbrusten. Beim Spannen ds Bogens wird bei jedem Wegstück, das die Sehne zurückgezogen wird, Arbeit längs dieses Wegstückes aufgewendet. Die Gesamtenergie ergibt sich als die Summe dieser Arbeitsleistungen zu:

(3) Energie = Integral (Rüchstellkraft) über der Auslenkung.

Nun ist witzigerweise ist die Rückstellkraft von Federn und Gummiseilen nicht konstant, sondern wächst mit der Auslenkung (je weiter man zieht, desto schwerer wird es). Im s.g. linearen (Hookschen) Bereich gilt:

(4) Rückstellkraft = Federkonstante * Auslenkung

Die Federkonstante richtet sich nach der Steifigkeit des Bogens bzw. nach der Dicke des Gummiseiles.

Damit ergibt sich aus der Zusammenfassung von (3) und (4):

(5) Energie = Integral (Federkonstante * Auslenkung) über Auslenkung

oder auch

(6) Energie = 0.5 * Federkonstante * (Endauslenkung^2 - Startauslenkung^2)

mit der Endauslenkung als der Position, in der der Pfeil sich vor dem Abschuß befindet und Startauslenkung als der Grund-'Biegung'des Bogens, wenn die Sehne nicht gezogen wird.

Wenn ein Bogen mit der Zugkraft '28 lb bei 60 cm' also statt 60 cm nun 80 cm ausgezogen wird, ergibt sich (bei vernachlässigter Startauslenkung) eine Steigerung der Pfeilenergie um den Faktor (8/6)^2 = 1.78, und nicht um den Faktor 1.33 D.h. der Pfeil hat also 78% mehr Energie, obwohl er nur 33% weiter ausgezogen wurde. Drum obacht! Dieser Fall tritt insbesondere ein, wenn der 1.98-Mann A. Riese den Bogen der noch-im-Wachstum-befindlichen 16-jährigen M. Maus in die Hand nimmt und die Sehne bis zu seiner (vom Griff sehr, sehr weit entfernten) Nase auszieht. Entweder der Bogen bricht (das natürliche Ende des Jungendbogens, Modell 'Bärentöter') oder der Pfeil geht ab wie Zäpfchen und trifft erheblich härter als erlaubt und angenehm.

Die LARP-Physik des Triboks

Im Forum ist die Frage gestellt worden, wie weit ein von einem Tribok geschleuderter Ball fliegt. Die folgende Lösung gilt unter Vernachlässigung des Luftwiderstandes. Beim Tribok wird der Ball durch ein fallendes Gegengewicht beschleunigt.Die potentielle Energie des Gegengewichtes geht voll in die kinetische Energie des Balles:

(7) E_pot = h_g * m_g

mit

h_g : Höhendifferenz des Gegengewichtes

m_g : Masse des Gegengewichtes

Die 'Mündungsgeschindigkeit' des Balles geht in die kinetische Energie des Balles wie folgt ein:

(8) E_kin = 0.5 * m_b * v0^2

mit

m_b : Masse des Balles

v0 : Mündungsgeschwindigkeit

Dieser Ausdruck läßt sich umformen zu

(9) v0 = Wurzel(2 * E_kin / m_b) bzw.

(10) v0 = Wurzel(2 * h_g * (m_g/m_b))

(weil E_kin = E_pot, wenn keine Energie verloren geht)

Okeydo, das sagt uns noch nicht, wie weit das Ding fliegt. Die Flugweite ist durch den Aufschlagzeitpunkt begrenzt. Wann schlägt die Kugel auf,wenn sie im 45 Grad-Winkel abgeschossen wird?

Zerteilen wir zunächst die Geschwindigkeit v in ihre senkrechte Komponente vy (nach oben) und ihre waagrechte Komponente vx (nach vorne). Für beide gilt (45 Grad!)

(11) vx = vy = (1/Wurzel(2)) * v

(Das kann man sich am besten auf einem Blatt Papier klarmachen, indem man die Geschwindigkeitsvektoren aufzeichnet. Ich sage nur: Diagonale eines Quadrates). Die Geschwindigkeit vy nimmt zunächst nach

(12) vy = vy0 - a * t

ab, mit

vy0 : senkrechte Komponente der Mündungsgeschindigkeit v0

a : Erdbeschleunigung (ca. 10 m/s^2)

t : Zeit

Das heißt, nach

(13) t_s = vy0 / a

ist der Scheitelpunkt der Flugbahn erreicht. Ohne nähere Begründung gebe ich hier mal an, daß er gleich lange braucht, um von seinem Scheitelpunkt wieder herunterzufallen wie von unter heraufzukommen. Das ergibt dann:

(14) t_flug = (2/Wurzel(2)) * v0 / a

v0 einsetzen:

(15) t_flug = Wurzel(4 * h_g * (m_g/m_b)) / a

Wie weit ist denn das? Die Weite ergibt sich aus Flugdauer und horizontaler Mündungsgeschindigkeit zu:

(16) d = t_flug * vx0

eingesetzt und vereinfacht:

(17) d_flug = 2* (h_g * m_g / m_b)

Großes Endergebnis: Für den Fall eines Balls von 500 g Gewicht und eines Gegengewichtes von 20 kg, das beim Abschuß um 1 m abgesenkt wird, wirst Du eine Weite von 80 m erreichen. Dieses Ergebnis gilt nur, wenn der Luftwiderstand vernachlässigt werden kann - also für Geschoße aus dichten Materialien.

In diesem Sinne: Vorsprung durch Physik!